Доходность и риск акций.
Статистика ежемесячной доходности
Доходность и риск акций.
Определение риска
Распределение вероятностей и ожидаемая доходность
(подход аналитика – сценарный подход)
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение – мера риска
Коэффициент вариации
Статистический подход.
Статистика рынка акций.
Риск и доходность портфеля. Ковариационная матрица
Портфель из двух бумаг. Портфель из N бумаг.
Зависимость риска от диверсификации
Эффективный портфель. Граница эффективности. Множество
Марковица.
Принимая решение об инвестировании, обычно сначала оценивает риск инвестиции, а затем определяется, является ли уровень доходности достаточным для компенсации ожидаемого риска. Под риском понимают вероятность неблагоприятного исхода. Например, инвестор купил краткосрочные 100 краткосрочных государственных облигаций номиналом 100 и доходностью 10%. Такие инвестиции являются берисковыми. Возможно, приобрести на эту же сумму акции перспективной компании. Точная доходность этих акции неизвестна, но оценка доходности составляет 20%, но при этом существует вероятность не получить ожидаемую доходность.
Подход аналитика. (сценарный подход)
Например, вы владеете 10 летними облигациями с купоном в 10%. Это владение принесет обещанный доход, если вы владеете облигациями все 10 лет. Однако, если возникнет необходимость продать облигации в конце 3 года, то цена облигации будет зависит от текущей ставки процента. А процентная ставка зависит от состояния экономики: рост, спад и т.д. Существует некоторая вероятность осуществления того или иного состояния экономики.
Финансовый аналитик на основе анализа макрофакторов (экономика в целом) и микрофакторов (состояние фирмы) прогнозирует стоимость акций (или доходность акций) для различных состояний экономики и вероятность осуществления данного состояния. Результатом его работы является расчет ожидаемой доходности , стандартного отклонения и ковариации доходностей акций, рассматриваемых фирм.
Пусть имеется следующая таблица.
Таблица 1.Оценка доходности по четырем альтернативам
|
Состояние экономики |
вероятность |
Корпоративные облигации
доходность в % |
Проект 1- доходность в % |
Проект2- доходность в % |
|
Глубокий спад |
0,05 |
12 |
-3 |
-2 |
|
Незначительный спад |
0,2 |
10 |
6 |
9 |
|
Стагнация |
0,5 |
9 |
11 |
12 |
|
Незначительный подъем |
0,2 |
8,5 |
14 |
15 |
|
Сильный подъем |
0,05 |
8 |
19 |
26 |
|
Ожидаемая
доходность |
|
9,2 |
10,3 |
12 |
|
Дисперсия |
|
0,71 |
19,31 |
23,2 |
|
Риск |
|
0,8426 |
4,3943 |
4,8166 |
|
коэффициент вариации |
|
0,09 |
0,43 |
0,40 |
Ожидаемая доходность (expected rate оf return)– это средневзвешенные по состояниям доходности[1]
(1)
Под риском акции понимается отклонение от ожидаемой доходности. Мерой риска является среднеквадратическое отклонение. В литературе чаще используют термин вариация доходности. Среднеквадратическое отклонение равно корню квадратному из вариации (дисперсии), которая равна
(2)
р(s) – вероятность реализации состояния s, Е(r(s)) – среднее значение случайной величины.
Вычисленное по этой формуле среднеквадратическое отклонение
не является в полной мере оценкой риска данной бумаги (инвестиции), поскольку не
учитывает влияние других факторов (бумаг), количественной оценкой которой
является ковариация
(3)
Из таблицы 1 следует, что самой безрисковой бумагой являются корпоративные облигаций, но они же имеют и наименьшую доходность. Поэтому более правильной оценкой для сравнения соотношения риска и доходности инвестиции является коэффициент вариации – отношение риска к доходности.
(4)
Этот коэффициент имеет максимальное значение проекта 1.
Подход статистика.
Оценка, финансового аналитика является во многом субъективной. Если имеются временные ряды доходности за достаточно длительный период, то ожидаемую доходность и риск можно оценить применяя статистические методы прогнозирования на основе временных рядов. В современной математике финансов это подход является наиболее используемым. Такой подход называют подходом статистика.
Финансовый статистик строит свои прогнозы доходности вариации акции и ее ковариации с другими акциями по прошлым доходностям. Прошлые доходности - это независимая случайная выборка из некоторого базисного распределения. Обычно это исторические доходности, полученные с фондового рынка. Аналитик пытается оценить цену акций по генеральной совокупности непосредственно. Оценки параметров генеральной совокупности по выборке должны быть несмещенными и состоятельными. По проблеме прогнозирования доходности и вариации по историческим данными существует достаточно большая литература. Если все требования теории статистического оценивания параметров генеральной совокупности выполнены, то оценки, полученные финансовым статистиком будут совпадать с оценками финансового аналитика. Имеется целый ряд работ, в которых сравниваются результаты двух подходов и дается оценка частоты использования в инвестиционном анализе этих подходов.
По историческим данным за некоторый период выборочное среднее вычисляется по формуле
(5)
Это значение выборочной средней принимается за доходность[2].
Вариация или дисперсия должна быть несмещенной оценкой и вычисляется по формуле
(6)
Несмещенная выборочная ковариация рассчитывается по формуле
(7)
При анализе финансовых рыночных рисков сталкиваются в основном с двумя видами рисков.
- Риск неопределенности исходов, при заданном распределении вероятности
- Риск точности используемых данных распределения вероятности.
Задача.
Имеются следующие данные о доходностях акций фирмы А и Б.
|
Вероятность |
А доходность% |
Б доходность в % |
|
0,1 |
0 |
-0,50 |
|
0,2 |
0,50 |
-0,25 |
|
0,4 |
1,00 |
1,50 |
|
0,2 |
2,00 |
3,00 |
|
0,1 |
3,00 |
4,00 |
Найти ожидаемую доходность и риск акций А и Б.
Решение.
Ожидаемая доходность акции А равна
0,1*0+0,2*0,5+0,4*1+0,2*2,00+0,1*3,00=1,2
Ожидаемая доходность акции Б равна 
Риск –это стандартное отклонение
Для А риск равен 
0,1*(0-1,2)2 + 0,2*(0,5-1,2)2+0,4*(1,00-1,2)2+0,2*(2,00-1,2)2+0,1*(3-1,2)2=0,898.
Риск равен 
0,95.
Риск акций Б равен 1,44.
Статистика доходностей.
На рис ниже .показаны ежедневная и ежемесячная доходность акций РАО ЕС за 2002-2003 годы.
|
|
дохеж |
дохмес |
|
|
N |
Валидные |
729 |
35 |
|
|
Пропущенные |
0 |
694 |
|
Среднее |
,001678 |
,034949 |
|
|
Мода |
,0000 |
-,3123(a) |
|
|
Дисперсия |
,001 |
,026 |
|
|
Асимметрия |
,039 |
,257 |
|
|
Стд. ошибка асимметрии |
,091 |
,398 |
|
|
Эксцесс |
1,541 |
,413 |
|
|
Стд. ошибка эксцесса |
,181 |
,778 |
|
|
Размах |
,2599 |
,7067 |
|
Статистика ежемесячной доходности
Как видно из анализа статистики временного ряда доходность в основном подчиняется нормальному распределению.
Нормальность распределения доходности используется в оценки стоимости опционов.
Например, если 
, 
, то частота появления 13% доходности равна
Риск и доходность портфеля акций.
Портфель из двух бумаг.
Портфель из двух активов.
Формулы расчета для расчета доходности и риска портфеля значительно упрощаются и становятся наглядными, если портфель составлен из двух бумаг.
Пример 1.
Для портфеля из двух акций А и В рассчитать ожидаемую доходность портфеля,
стандарное отклонение для различных значений долей акций в портфеле. Построить эффективное множество.
Каким значениям корреляции соответствуют границы портфеля.
|
Акции |
Ожидаемая
доходность в % |
Стандартное
отклонение в % |
|
А |
10 |
2 |
|
В |
20 |
8 |
Риск и доходность портфеля из двух бумаг легко находится из формул
(8)
Поскольку сумма весов в портфеле должна быть равна единице, то выразим вес акции 2 через вес акции 1 - w1
w2 = 1 - w1 (9)
Подставляя теперь (9) в выражения для доходности и риска портфеля (8) получим
(10)
Если для различных значений корреляции между бумагами А и Б
и долями бумаг в портфеле построить множество 
, то получим множество возможных портфелей, которое
получило название множество Марковица. Для коэффициентов корреляций {-1;-0,5;0;0,5;1}
по формулам были найдены соответствующие значения доходности r p и риска σp портфеля. Результаты
расчетов показаны на рис.2
Рис.2
Границы множества Марковица для различных значений коэффициента корреляции
